Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · SYKSY 2007

Pitkä matematiikka, syksy 2007

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2007 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAY1a) Ratkaise epäyhtälö 2-3x>4x. b) Muodosta sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteiden (4, -3) ja (-2, 6) kautta. c) Ratkaise L yhtälöstä t= 12π√LC.
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAA7a) Olkoon f(x)= x x. Laske derivaatta f'(0). b) Laske integraali ∫1^3 1x^3 dx. c) Määritä se funktion e^x+1 integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen (0, -2) kautta.
  3. 4. Tehtävä 412 p · MAY1Tuotteen hintaa korotettiin p prosenttia, jolloin menekki väheni. Tämän johdosta hinta päätettiin alentaa takaisin alkuperäiseksi. Kuinka monta prosenttia korotetusta hinnasta alennus oli?
  4. 13. Tehtävä 1312 p · MAA11Osoita, että luku n^3-n on jaollinen luvulla 6, kun n on luonnollinen luku.

B1-osa

  1. 3. Tehtävä 312 p · MAA4Kolmiossa ABC on AB=2,2 i+7,3 j ja AC=5,9 i-2,1 j. a) Määritä kolmanteen sivuun liittyvä vektori BC. b) Osoita, että BC on kolmion pisin sivu. c) Määritä kulman BAC suuruus pistetulon (skalaaritulon) avulla 0,1 asteen…
  2. 5. Tehtävä 512 p · MAA4Määritä ympyrän x^2+y^2+4x-2y+1=0 niiden tangenttien yhtälöt, jotka kulkevat pisteen (1, 3) kautta.
  3. 6. Tehtävä 612 p · MAA3Viisi kilometriä pitkän rantaa pitkin kulkevan suoran tieosuuden alkupisteessä kulkija näkee majakan etuviistossa 65 asteen kulmassa tiehen nähden. Tieosuuden loppupisteessä hän näkee saman majakan takaviistossa 54…
  4. 7. Tehtävä 712 p · MAA6Suoran kolmisivuisen pyramidin pohja on tasasivuinen kolmio. Pyramidin sivusärmän pituus on 60 cm. Miten on pohjasärmän pituus valittava, jotta pyramidin tilavuus olisi mahdollisimman suuri?
  5. 8. Tehtävä 812 p · MAA8Henkilön työmatkalla on kolmet liikennevalot, jotka toimivat toisistaan riippumattomasti. Ne näyttävät henkilön kulkusuuntaan vihreää valoa 30 %, 40 % ja 20 % ajasta. Laske todennäköisyys, että henkilö joutuu…
  6. 9. Tehtävä 912 p · MAA6Olkoon f(x)= x x. Millä muuttujan x arvoilla funktio f on määritelty? Millä väleillä funktio on kasvava ja millä vähenevä? Mitä arvoja funktio ei saa?
  7. 10. Tehtävä 1012 p · MAA7Käyrä y=| 2x| ja suora y=1 rajoittavat tasoalueen, kun π4≤ x≤ 3π4. Määritä sen pinta-ala.
  8. 12. Tehtävä 1212 p · MAA6Osoita, että funktiolla f:[2,5]→[25,52], f(x)=2x^3-21x^2+60x on käänteisfunktio g=f^-1. Laske käänteisfunktion arvo g(45) ja sen derivaatan arvo g'(45).

B2-osa

  1. 11. Tehtävä 1112 p · MAA11Ympyrän keskipiste on (r, r) ja säde r. Asetetaan uusi ympyrä siten, että se sivuaa koordinaattiakseleita ja alkuperäisen ympyrän origonpuoleista neljänneskaarta (kuva). a) Määritä tämän ympyrän säde. b) Muodostetaan…
  2. 14. Tehtävä 1412 p · MAA11Osoita, että funktio f: R→ R, f(x)=x- x, on aidosti kasvava ja että se saa kaikki reaalilukuarvot. Päättele, että tällöin yhtälöllä f(x)=0 on vain yksi ratkaisu, ja määritä se kolmen desimaalin tarkkuudella.
  3. 15. Tehtävä 1512 p · MAA4Origokeskinen r-säteinen ympyrä leikkaa y-akselin pisteessä A ja (1, 0)-keskisen yksikkösäteisen ympyrän pisteessä B. Pisteet A ja B sijaitsevat samalla puolella x-akselia. Pisteiden A ja B kautta kulkeva suora leikkaa…