Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · SYKSY 2006

Pitkä matematiikka, syksy 2006

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2006 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAY1a) Sievennä lauseke (1+x)^3-(1-x)^3. b) Ratkaise yhtälö x+1x= xx+1.
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAA7a) Derivoi lauseke (x^2+1)e^2x. b) Laske integraali ∫1^2 1x^2 dx.
  3. 3. Tehtävä 312 p · MAA3Annetun ympyrän pinta-ala on A. Mikä on ympyrän ympäri piirretyn neliön ala? Entä ympyrän sisään piirretyn neliön ala?
  4. 4. Tehtävä 412 p · MAA4Jaa vektori i+7 j vektoreiden a=2 i+3 j ja b=-7 i+6 j suuntaisiin komponentteihin.
  5. 6. Tehtävä 612 p · MAA6Määritä funktion f(x)= ^2x+ x suurin ja pienin arvo.

B1-osa

  1. 5. Tehtävä 512 p · MAY1Hopean ja kuparin seoksesta tehty esine painaa 150 g, ja sen tiheys on 10,1 kg/dm^3. Kuinka monta painoprosenttia esineessä on hopeaa ja kuinka monta kuparia, kun hopean tiheys on 10,5 kg/dm^3 ja kuparin 9,0 kg/dm^3?
  2. 7. Tehtävä 712 p · MAA3Nelikulmion muotoisen tontin kolme peräkkäistä kulmaa ovat mittausten mukaan 70^°, 125^° ja 110^°; näiden välisten rajalinjojen pituudet ovat (samassa järjestyksessä) 88 metriä ja 120 metriä. Kuinka suuri on tontin…
  3. 8. Tehtävä 812 p · MAA10Määritä muodossa ax+by+cz=1 sen tason yhtälö, joka kulkee pisteen (1, 1, 1) kautta ja leikkaa xy-tason pitkin suoraa x-y=2.
  4. 10. Tehtävä 1012 p · MAA8Tiedetään, että eräässä nelilapsisessa perheessä ainakin yksi lapsista on tyttö. Mikä on tällöin todennäköisyys, että kaikki lapset ovat tyttöjä? Jos tiedetään, että ainakin kaksi lapsista on tyttöjä, mikä on…
  5. 11. Tehtävä 1112 p · MAA6Yhtälö 2x^2+y^2=6 määrittää pisteen x=1 ympäristössä derivoituvan funktion y=y(x), jolle pätee y(1)=-2. Määritä funktion kuvaajalle pisteeseen (1, -2) asetetun tangentin yhtälö ja laske, missä pisteessä tangentti…
  6. 13. Tehtävä 1312 p · MAA7Ympyränkaaren päätepisteet ovat (-2, 0) ja (2, 0), ja kaari kulkee pisteen (0, 1) kautta. Kun kaari pyörähtää x-akselin ympäri, syntyy pyörähdyspinta. Muodosta integraali, joka esittää pinnan rajaaman kappaleen…
  7. 15. Tehtävä 1512 p · MAA7Laske integraali ∫0^4x^2 dx numeerisesti Simpsonin säännöllä jakamalla integroimisväli neljään osaväliin. Totea, että tulos on tarkka. Tutki virhetermin avulla, minkäasteiset polynomit Simpsonin sääntö integroi tarkasti.

B2-osa

  1. 9. Tehtävä 912 p · MAA3Suoran ympyräkartion korkeus on h ja pohjan säde r. Kartion sisään asetetaan pallo, joka sivuaa vaippaa ja pohjaa. Määritä pallon säde R. Määritä h→∞R, kun r on vakio, ja r→∞R, kun h on vakio.
  2. 12. Tehtävä 1212 p · MAA11Jonot (xn) ja (yn) olkoot geometrisia lukujonoja. Näytä, että myös tulojono (zn)=(xnyn) on geometrinen jono. Jos geometrinen jono (xn) suppenee ja geometrinen jono (yn) hajaantuu, niin onko jono (zn) aina hajaantuva?