Integraalin ja raja-arvon järjestyksen vaihto · 2023 · kevät

Olkoon $\displaystyle f(x,s)=\frac{1-s}{(1+x^2-2sx)^2}$, kun $0<s<1$ ja $0\le x\le 1.$ Tarkastellaan vasemmanpuoleista raja-arvoa $\displaystyle\lim_{s\to 1}$, jota joskus merkitään $\displaystyle\lim_{s\to 1^-}.$ 1. Määritä $\displaystyle g(x)=\lim_{s\to 1} f(x,s)$ kaikilla $0\le x<1$, ja laske $\displaystyle \int_0^1 g(x)\, dx.$ (3 p.) 2. Määritä sellainen $x_0<1$, että $f(x_0, s) = f(1, s)$, ja laske $\displaystyle \int_{x_0}^1 f(x_0,s)\, dx.$ (3 p.) 3. Osoita, että $f(x, s) \ge f(x_0, s)$, kun $x\in [x_0, 1]$ ja $x_0$ on määritetty osatehtävässä 13.2. (3 p.) 4. Osoita, että $\displaystyle \int_0^1 \lim_{s\to 1} f(x,s)\, dx \ne \lim_{s\to 1} \int_0^1 f(x,s)\, dx.$ (3 p.)