YO-KOE · SYKSY 2013
Pitkä matematiikka, syksy 2013
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2013 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.
A-osa
- 1. Tehtävä 112 p · MAY1a) Ratkaise yhtälö x^2+6x=2x^2+9. b) Ratkaise yhtälö (1+x)/(1-x)=(1-x^2)/(1+x^2). c) Esitä polynomi x^2-9x+14 ensimmäisen asteen polynomien tulona.
- 2. Tehtävä 212 p · MAA6a) Millä muuttujan x arvoilla polynomin P(x)=x^4-x^3+x derivaatta saa arvon 1? b) Määritä funktion 4x+ (4x) kaikki integraalifunktiot. c) Positiivinen luku a on 25 prosenttia pienempi kuin luku b. Kuinka monta…
- 3. Tehtävä 312 p · MAA4a) Määritä vektoreiden a= i-2 j ja b=3 i+ j välisen kulman likiarvo asteen kymmenesosan tarkkuudella. b) Millä parametrin s arvolla vektorit a= i-2 j ja c=s i+(1-s) j ovat yhdensuuntaiset?
- 5. Tehtävä 512 p · MAA10Pisteestä A(1, -1, 0) siirrytään 9 pituusyksikköä vektorin i-2 j+2 k suuntaan pisteeseen B ja siitä edelleen 10 pituusyksikköä vektorin 3 i-4 k suuntaan pisteeseen C. Määritä pisteen C koordinaatit.
- 7. Tehtävä 712 p · MAA7Laske integraali ∫0^2 |x^3-x |dx.
- 8. Tehtävä 812 p · MAA8Kaksipäiväisiin turnajaisiin osallistui kaikkiaan 329 ritaria. Heistä oli ensimmäisenä päivänä paikalla 302 ja toisena 285. Millä todennäköisyydellä turnajaisiin osallistunut ritari oli paikalla molempina päivinä?
- 12. Tehtävä 1212 p · MAA12Merkitään R(x)=(9x^2-1)/(3x^2-5x-2). Määritä raja-arvo a) x→∞R(x) b) x→- 13R(x)
B1-osa
- 4. Tehtävä 412 p · MAA6Millä parametrin k arvoilla käyrien y=kx^2 ja y=k(x-2)^2 leikkauspisteeseen piirretyt tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan?
- 6. Tehtävä 612 p · MAA3Kolmion ABC kulman C puolittaja leikkaa sivun AB pisteessä D. Pisteiden välisille etäisyyksille on voimassa CD=6, AD=4 ja DB=3. Määritä kolmion sivujen AC ja BC pituuksien tarkat arvot.
- 9. Tehtävä 912 p · MAA6Käyrien y=2e^-x ja y=x^2e^-x väliin jäävään rajoitettuun alueeseen asetetaan y-akselin suuntainen jana oheisen kuvion mukaisesti. Määritä tämän janan suurin mahdollinen pituus. Anna vastauksena tarkka arvo ja…
- 10. Tehtävä 1012 p · MAA10Pöydällä on kolme samankokoista palloa, joista kukin koskettaa kahta muuta. Niiden päälle asetetaan neljäs samanlainen pallo, joka koskettaa kaikkia kolmea alkuperäistä palloa. Mikä on rakennelman korkeus? Anna…
- 11. Tehtävä 1112 p · MAA11Olkoon f(x)= cases xx, & kun x≠0,\\[1ex]1, & kun x=0. cases Laske integraalin ∫0^1f(x) dx likiarvo käyttämällä puolisuunnikassääntöä, kun jakovälejä on viisi.
- 13. Tehtävä 1312 p · MAA11Osoita epäsuoraa todistusta käyttämällä, että √[3]2 ei ole rationaaliluku.