Tehtävä 15 · 2014 · kevät

Välillä $[-1,\,1]$ jatkuvien funktioiden $f$ ja $g$ skalaaritulo $f*g$ määritellään kaavalla $$f*g=\int_{-1}^1f(x)g(x)\,dx.$$ Funktiot ovat *ortogonaaliset*, jos $f*g=0$. a) Määritellään $f_0(x)=1$, $f_1(x)=x$ ja $f_2(x)=x^2$, kun $x\in[-1,1]$. Niiden avulla määritellään funktiot $g_k:[-1,1]\to\mathbb R$, $k=0,1,2$, käyttämällä kaavoja $$g_0(x)=f_0(x),\quad g_1(x)=f_1(x)-\frac{g_0*f_1}{g_0*g_0}g_0(x)\quad\text{ja}$$ $$g_2(x)=f_2(x)-\frac{g_0*f_2}{g_0*g_0}g_0(x)-\frac{g_1*f_2}{g_1*g_1}g_1(x).$$ Sievennä funktioiden $g_1$ ja $g_2$ lausekkeet. (5 p.) b) Osoita, että funktiot $g_j$ ja $g_k$ ovat ortogonaaliset kaikilla eri indekseillä $0\le j<k\le2$. (3 p.) c) Olkoon $h(x)=x^3+ax^2+bx+c$. Määritä vakioille $a$, $b$ ja $c$ sellaiset arvot, että funktiot $h$ ja $g_k$ ovat ortogonaaliset jokaisella $k=0,1,2$. (4 p.)