Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · KEVÄT 2011

Pitkä matematiikka, kevät 2011

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2011 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAY1a) Ratkaise yhtälö 2x= 3x-2. b) Ratkaise epäyhtälö x^2-2≤ x. c) Ratkaise yhtälö | 32x-6 |=6.
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAY1a) Osakkeen arvo oli 35,50 euroa. Se nousi ensin 12 %, mutta laski seuraavana päivänä 10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? b) Suora kulkee pisteiden (-2, 1) ja (5, -3) kautta.…
  3. 3. Tehtävä 312 p · MAA7Olkoon f(x)=xe^-x^2 ja g(x)=2e^-x^2. a) Ratkaise yhtälö f(x)=g(x). b) Laske f'(1). c) Laske integraali ∫0^1f(x) dx.
  4. 4. Tehtävä 412 p · MAA2Määritä se toisen asteen polynomi, joka saa pisteissä x=0, x=1 ja x=2 samat arvot kuin funktio f(x)=2^x.
  5. 9. Tehtävä 912 p · MAA11Lukujonon termit määritellään rekursiokaavalla a1= 54, an=- 34an-1, n=2,3, a) Määritä jonon yleisen termin an lauseke. b) Laske Σn=1^∞ an.
  6. 12. Tehtävä 1212 p · MAA11Tutki, onko luku 46^78+89^67 jaollinen viidellä.
  7. 13. Tehtävä 1312 p · MAA2Jaa polynomi 2x^4-x^3+x^2-x-1 mahdollisimman matalaa astetta oleviin tekijöihin.

B1-osa

  1. 5. Tehtävä 512 p · MAA6Määritä polynomin x(x+3)(5-x) suurin ja pienin arvo välillä [-1, 5].
  2. 6. Tehtävä 612 p · MAA8Lasten Lotossa rastitaan alle kuvatusta ruudukosta kolme ruutua ja arvonnassa muodostetaan kolmen numeron oikea rivi. Laske todennäköisyydet saada nolla, yksi, kaksi tai kolme oikein. Mikä on näiden todennäköisyyksien…
  3. 7. Tehtävä 712 p · MAA3Osa Helsingin Keskuskatua muutettiin kävelykaduksi ja päällystettiin Penrosen laatoilla, jotka keksi englantilainen matemaatikko Roger Penrose 1970-luvulla. Niiden avulla taso voidaan laatoittaa äärettömän monella eri…
  4. 8. Tehtävä 812 p · MAA10Olkoon a=4 i-5 j+3 k ja b=2 i+ j-2 k. Esitä vektori a summana vektoreista u ja v, joista u on yhdensuuntainen vektorin b kanssa ja v kohtisuorassa vektoria b vastaan.
  5. 10. Tehtävä 1012 p · MAA7Funktio f:[0,2π]→ R on jatkuva. Laske käyrien y=f(x), y=f(x)+ x ja suorien x=0, x=2π rajaaman alueen pinta-ala.
  6. 11. Tehtävä 1112 p · MAA12a) Määritä sellainen kerroin a, että f(x)= casesax^2, & x≤-1,\\[0.5ex] (x^2)/(1+x^2), & x>-1, cases on jatkuva kaikkialla. b) Onko funktio f(x) tällöin derivoituva kaikkialla? c) Laske x→∞f(x).

B2-osa

  1. 14. Tehtävä 1412 p · MAA6Funktiota f(x)= x approksimoidaan polynomilla g(x)=1- x^22. a) Näytä, että f(x)≥ g(x) kaikilla muuttujan x arvoilla. (4 p.) b) Ratkaise yhtälö f(x)=g(x). (2 p.) c) Määritä funktioiden f(x) ja g(x) erotuksen suurin…
  2. 15. Tehtävä 1512 p · MAA6Olkoon f(x)=x^2. Paraabelin y=f(x) kaarevuutta origossa voidaan tutkia Isaac Newtonin (1642–1727) esittämällä sivuavien ympyröiden (circulum osculans) menetelmällä. Menetelmä perustuu siihen, että jokaisella parametrin…