Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · SYKSY 2010

Pitkä matematiikka, syksy 2010

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2010 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAA6a) Sievennä lauseke (a+b)^2-(a-b)^2. b) Ratkaise yhtälö x=√3. c) Määritä f'(-3), kun f(x)=(x^2)/(x+1).
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAY1a) Ratkaise epäyhtälö x√7-3≤4x. b) Laske integraali ∫0^1 1x+1 dx. c) Ratkaise yhtälö x^4-3x^2-4=0.
  3. 3. Tehtävä 312 p · MAA10a) Suoran vektorimuotoinen yhtälö on OP= i+2 j+2 k+t(2 i+ j+s k), missä t∈ R on suoran parametri. Määritä sellainen luku s, että suora on tasossa 3x+4y+5z=21. b) Olkoon F se funktion f(x)=(2-x)^3 integraalifunktio,…
  4. 4. Tehtävä 412 p · MAA2Funktion f(x)=ax^2+bx+c kuvaaja kulkee pisteiden (-1, 12), (0, 5) ja (2, -3) kautta. Määritä lausekkeen a+b+c arvo.
  5. 8. Tehtävä 812 p · MAA11Jono (an) on aritmeettinen jono. Osoita, että jono (bn), missä bn=3^an, on geometrinen. Millä jonoa (an) koskevalla ehdolla jono (bn) on aidosti vähenevä?
  6. 11. Tehtävä 1112 p · MAA11Olkoot A, B ja C lauseita. Tutki, ovatko lauseet a) A B, b) (A B) (C B) tautologioita.
  7. 12. Tehtävä 1212 p · MAA2Määritä a siten, että polynomi P(x)=2x^4-3x^3-7x^2+a on jaollinen binomilla 2x-1. Määritä tätä a:n arvoa vastaavat yhtälön P(x)=0 juuret.

B1-osa

  1. 5. Tehtävä 512 p · MAA4Vene A ylittää joen 45 asteen kulmassa nopeudella 16 km/h, ja vene B ylittää joen 30 asteen kulmassa nopeudella 14 km/h. Molemmat kulmat on mitattu joen poikkisuunnasta. Veneet lähtevät yhtä aikaa. Kumpi veneistä…
  2. 6. Tehtävä 612 p · MAA8Monivalintatestissä on 25 väitettä ja kussakin kaksi vastausvaihtoehtoa. Opiskelija tietää oikean vastauksen 10 väitteeseen, mutta joutuu arvaamaan loput. Millä todennäköisyydellä hän läpäisee testin, kun läpipääsyyn…
  3. 7. Tehtävä 712 p · MAA6Määritä funktion f(x)= x- 12 2x suurin ja pienin arvo. Missä pisteissä suurin arvo saavutetaan?
  4. 9. Tehtävä 912 p · MAA3Arkhimedeen lain mukaan vedessä kelluvan esineen syrjäyttämän veden paino ja esineen paino ovat samat. Pyöreästä ja tasapaksusta puutukista jää veden yläpuolelle sen halkaisijasta viidesosa. Määritä tukin tiheys. Veden…
  5. 10. Tehtävä 1012 p · MAA6Suora kulkee kiinteän pisteen (a, b), a>0, b>0, kautta ja muodostaa positiivisten koordinaattiakselien kanssa kolmion. Mikä on tällaisen kolmion pienin mahdollinen pinta-ala?
  6. 13. Tehtävä 1312 p · MAA12Määritä sellainen kerroin a, että funktio f(x)= casesae^-3x, & kun x≥0,\ 0, & kun x<0, cases on erään satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Mikä on tällöin kertymäfunktion lauseke? Laske P(X≥ t), kun t≥0.

B2-osa

  1. 14. Tehtävä 1412 p · MAA5a) Osoita, että funktiolla f(x)= x+x+1, x>0, on käänteisfunktio g=f^-1. (3 p.) b) Määritä käänteisfunktion derivaatta g'(2). (3 p.) c) Missä pisteissä funktion f kuvaaja leikkaa käänteisfunktion kuvaajan? (3 p.) d)…
  2. 15. Tehtävä 1512 p · MAA3a) Miten määritellään tylppäkulmainen kolmio? (2 p.) b) Johda kolmion pinta-alan kaava käyttäen hyväksi seuraavia tietoja: – Suorakulmion pinta-ala on ab, kun a ja b ovat suorakulmion sivujen pituudet. – Suorakulmion…