Tehtävä 15 · 2011 · kevät

Olkoon $f(x)=x^2$. Paraabelin $y=f(x)$ kaarevuutta origossa voidaan tutkia Isaac Newtonin (1642–1727) esittämällä sivuavien ympyröiden (circulum osculans) menetelmällä. Menetelmä perustuu siihen, että jokaisella parametrin $t>0$ arvolla paraabelin pisteiden $O(0,\,0)$, $A\left(-t,\,t^2\right)$ ja $B\left(t,\,t^2\right)$ kautta kulkee yksikäsitteinen ympyrän kehä. a) Määritä tämän ympyrän säde $R(t)$ parametrin $t$ avulla lausuttuna. (4 p.) b) Laske rajaympyrän säde $R_0=\lim\limits_{t\to0+}R(t)$. Tätä kutsutaan paraabelin kaarevuussäteeksi origossa. (2 p.) c) Johda lauseke funktiolle $g(x)$, jonka kuvaaja on rajaympyrän alapuoli. (3 p.) d) Näytä, että $g''(0)=f''(0)=1/R_0$. Tämä on paraabelin kaarevuus origossa. (3 p.)