Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · SYKSY 2009

Pitkä matematiikka, syksy 2009

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2009 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAY1a) Ratkaise yhtälö (x-2)(x-3)=6. b) Ratkaise yhtälö xx-3- 1x=1. c) Osoita, että √27-10√2=5-√2.
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAA5a) Ratkaise epäyhtälö 6(x-1)+4≥3(7x+1). b) Ratkaise yhtälö √x+2=3. c) Ratkaise yhtälö (x/2)= 1√2.
  3. 3. Tehtävä 312 p · MAA7a) Funktion f(x)=ax^2e^x+bxe^x derivaatta on f'(x)=2x^2e^x+xe^x-3e^x. Määritä a ja b. b) Laske ∫-1^4/9 1√x+5 dx.
  4. 5. Tehtävä 512 p · MAA10Olkoot A=(2, 3, 1), B=(-5, 7, 2) ja C=(1, 5, 3) kolmiulotteisen avaruuden pisteitä. Laske AB+ BC+ CA.
  5. 8. Tehtävä 812 p · MAA2Ratkaise epäyhtälö (-x^2+x+2)/(x^3+2x^2-3x)>0.
  6. 12. Tehtävä 1212 p · MAA11Parilliset luonnolliset luvut voidaan esittää muodossa 2p, p=0,1,2,3, , ja parittomat muodossa 2p+1, p=0,1,2,3, Osoita tämän perusteella, että a) kahden parittoman luvun summa on parillinen ja b) kahden parittoman…

B1-osa

  1. 4. Tehtävä 412 p · MAA3Suorakulmaisen laatikon sivujen pituuksien suhde on 2:3:4. Laske sivujen pituudet millimetrin tarkkuudella, kun laatikon tilavuus on 10 litraa.
  2. 6. Tehtävä 612 p · MAA4Kolmion kärjet ovat pisteissä (-5, 3), (2, -1) ja (4, 8). a) Laske kolmion kulmat asteen kymmenesosan tarkkuudella. b) Laske kolmion pinta-ala yhden desimaalin tarkkuudella.
  3. 7. Tehtävä 712 p · MAA8A, B, C ja D aikovat jakaa keskenään korillisen omenoita siten, että kukin vuorollaan ottaa aina yhden omenan. Korissa olevien omenoiden lukumäärää ei tiedetä. A ehdottaa vedonlyöntiä: jos jokaiselle tulee yhtä monta…
  4. 9. Tehtävä 912 p · MAA6Mikä paraabelin y=5-x^2 piste on lähinnä origoa?
  5. 10. Tehtävä 1012 p · MAA7Laske käyrien y=e^x ja y=4-3e^-x väliin jäävän rajoitetun alueen pinta-ala. Anna vastauksena tarkka arvo ja kolmidesimaalinen likiarvo.
  6. 11. Tehtävä 1112 p · MAA11Janasta poistetaan keskimmäinen kolmannes. Jäljelle jääneistä osajanoista poistetaan jälleen keskimmäinen kolmannes. Poistamista jatketaan loputtomiin poistamalla jokaisella askeleella jäljellä olevista osajanoista…
  7. 13. Tehtävä 1312 p · MAA12Oletetaan, että funktio f:[0,5]→ R on derivoituva, f ( 12 )=1 ja derivaatalle pätee 14≤ f'(x)≤ 34. Mitä voidaan päätellä funktion arvosta f(3)?

B2-osa

  1. 14. Tehtävä 1412 p · MAA7a) Osoita, että jokaiselle kolmannen asteen polynomille p(x) pätee ∫0^2p(x) dx= 13 [p(0)+4p(1)+p(2) ]. (4 p.) b) Laske tämän avulla ∫0^2(x^3+x^2+x+1) dx. (4 p.) c) Osoita, että kaava ei päde kaikille neljännen asteen…
  2. 15. Tehtävä 1512 p · MAA7Suoran ympyräpohjaisen katkaistun kartion korkeus on h ja pohjien säteet r1 ja r2, r1>r2. a) Määritä pohjien suuntaisen leikkauksen pinta-ala a(z) korkeudella z∈[0,h]. (3 p.) b) Laske ∫0^ha(z) dz. (3 p.) c) Miten eo.…