Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · KEVÄT 2009

Pitkä matematiikka, kevät 2009

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2009 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAY1a) Sievennä a^23- ( -a3 )^2. b) Ratkaise epäyhtälö (x-3)^2>(x-1)(x+1). c) Määritä suorien x3+ y2=1 ja 3x-2y+3=0 leikkauspiste.
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAA7a) Laske ∫0^1√[3]x dx. b) Ratkaise yhtälö (e^x)^3=e^x^2. c) Minkä funktion integraalifunktio on 12 (2x)?
  3. 3. Tehtävä 312 p · MAA4a) Määritä vektoreiden a=2 i+5 j ja b= i-2 j summavektori ja summavektorin suuntainen yksikkövektori. b) Kuinka monta prosenttia suurempi on neliön ympäri piirretyn ympyrän kehän pituus kuin neliön piirin pituus? Anna…
  4. 4. Tehtävä 412 p · MAA6Neljännen asteen polynomilla 3x^4-8x^3-18x^2+7 ja sen derivaatalla on yhteinen nollakohta. Määritä tämä yhteinen nollakohta.
  5. 5. Tehtävä 512 p · MAA5a) Ratkaise yhtälö x+ (x+30)=3, missä on 10-kantainen logaritmi. b) Tutki, onko funktio f(x)= (x+1)- x, x>0, monotoninen.
  6. 8. Tehtävä 812 p · MAA10Taso T kulkee pisteiden A=(3, 0, 0), B=(0, 4, 0) ja C=(1, 2, 3) kautta. Muodosta tason yhtälö muodossa ax+by+cz+d=0.

B1-osa

  1. 6. Tehtävä 612 p · MAA8Tehdas valmistaa hehkulamppuja siten, että kone A valmistaa 60 prosenttia, kone B 30 prosenttia ja kone C 10 prosenttia hehkulampuista. Koneen A viallisten hehkulamppujen määrä on 2 prosenttia, koneen B 3 prosenttia ja…
  2. 7. Tehtävä 712 p · MAA6Paraabelin y=x^2 pisteeseen (x0, y0), x0∈ ]0,1], piirretty tangentti, x-akseli ja suora x=1 muodostavat kolmion. Millä arvolla x0 tämä kolmio on pinta-alaltaan suurin?
  3. 9. Tehtävä 912 p · MAA7Määritä käyrien y= ( 2π3-x ) ja y= x yhteiset pisteet (x∈ R). Anna koordinaattien tarkat arvot. Laske kahden peräkkäisen leikkauspisteen välisten kaarien rajoittaman alueen pinta-ala.
  4. 10. Tehtävä 1012 p · MAA7Kun funktion e^-x, x∈[0,a], kuvaaja pyörähtää x-akselin ympäri, syntyy pyörähdyskappale, jonka tilavuus on V(a). Määritä V(a) ja V∞= a→∞V(a). Millä a:n arvolla V(a)=0,99V∞? Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella.
  5. 11. Tehtävä 1112 p · MAA11Määritä kaikki positiiviset kokonaisluvut n, joille (9n^2+117n+34)/(3n+5) on myös positiivinen kokonaisluku.
  6. 12. Tehtävä 1212 p · MAA11Määritä Newtonin menetelmällä yhtälön x^3=x+2 juuri kahden desimaalin tarkkuudella. Osoita, että yhtälöllä on täsmälleen yksi juuri välillä [1,∞[.

B2-osa

  1. 13. Tehtävä 1312 p · MAA12Miten määritellään sarjan Σi=1^∞ ai n:s osasumma Sn? Mitä tarkoitetaan sarjan Σi=1^∞ ai suppenemisella? Osoita, että sarja Σn=1^∞ Sn ei suppene, jos ai>0 kaikilla i=1,2,3,
  2. 14. Tehtävä 1412 p · MAA10Vinon pyramidin pohja on neliö, jonka sivu on a. Pyramidin kahden vastakkaisen sivutahkon kulmat pohjan kanssa ovat 30 ja 135 astetta (pyramidin sisäpuolelta mitattuina). a) Laske pyramidin korkeus. (4 p.) b) Määritä…
  3. 15. Tehtävä 1512 p · MAA12Suljetulla välillä [0,1] derivoituvan funktion f derivaatalle pätee f'(x)≥2 jokaisella x∈[0,1], ja ∫0^1f(x) dx=1. Osoita: a) f(x)≥ f(0)+2x, kun x∈[0,1]. (4 p.) b) f(0)≤0. (4 p.) c) Funktiolla f on täsmälleen yksi…