YO-KOE · KEVÄT 2010
Pitkä matematiikka, kevät 2010
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2010 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.
A-osa
- 1. Tehtävä 112 p · MAY1a) Ratkaise yhtälö 7x^7+6x^6=0. b) Sievennä lauseke (√ a+1)^2-a-1. c) Millä x:n arvoilla pätee 33-2x<0?
- 2. Tehtävä 212 p · MAA7a) Laske integraali ∫0^1(e^x+1) dx. b) Derivoi funktio x x. c) Minkä luvun 2-kantainen logaritmi on 5?
- 3. Tehtävä 312 p · MAA3a) Kolmion sivujen pituudet ovat 2, 4 ja 5. Laske kolmion suurin kulma asteen kymmenesosan tarkkuudella. b) Määritä toisen asteen yhtälön x^2+px+q=0 kertoimet p ja q, kun yhtälön juuret ovat -2-√6 ja -2+√6.
- 5. Tehtävä 512 p · MAA4Vektoreiden a ja b summa on vektori 4 i+ j ja niiden pistetulo on a· b=4. Vektori b on yhdensuuntainen vektorin i kanssa. Määritä vektorit a ja b.
- 6. Tehtävä 612 p · MAA8a) Laatikossa on kaksi eriväristä palloa. Laatikosta nostetaan umpimähkään yksi pallo, pannaan se takaisin ja nostetaan taas umpimähkään pallo. Mikä on todennäköisyys, että nostetut pallot ovat eriväriset? b) Mikä on…
- 12. Tehtävä 1212 p · MAA11Osoita, että muotoa p^2-1 oleva luku on jaollinen luvulla 12, kun p on alkuluku ja suurempi kuin 3.
B1-osa
- 4. Tehtävä 412 p · MAA10Puolipallon sisällä on kuutio siten, että sen yksi sivutahko on puolipallon pohjatasolla ja vastakkaisen sivutahkon kärkipisteet ovat pallopinnalla. Kuinka monta prosenttia kuution tilavuus on puolipallon tilavuudesta?
- 7. Tehtävä 712 p · MAA6Suorakulmion kaksi kärkeä on x-akselilla ja kaksi käyrällä y= 42+x^2. Mitkä ovat suorakulmion sivujen pituudet, kun sen pinta-ala on suurin mahdollinen?
- 8. Tehtävä 812 p · MAA7Tietunnelin poikkileikkaus on osa alaspäin aukeavaa paraabelia. Tien leveys on 10 m, ja tunnelin poikkileikkauksen pinta-ala on 25,0 m^2. Määritä tunnelin korkeus senttimetrin tarkkuudella.
- 9. Tehtävä 912 p · MAA6Tutki, kuinka monta juurta yhtälöllä 3 x-1=4x on välillä ]- π2, π2 [.
- 10. Tehtävä 1012 p · MAA3Kolmio K1 on tasakylkinen kolmio, jonka kanta on a ja korkeus b. Kolmio K2 on suorakulmainen kolmio, jonka kateettien pituudet ovat a ja b. Kummalla kolmiolla on pidempi piiri?
- 11. Tehtävä 1112 p · MAA11Määritä ne geometriset sarjat, joiden summa on 2 ja toinen termi on 38. Anna vastauksena sarjan ensimmäinen termi ja sarjan suhdeluku.
- 13. Tehtävä 1312 p · MAA11Funktion f kuvaajan kaarenpituus välillä [a,b] on ∫a^b√1+f'(x)^2 dx. Laske funktion x kuvaajan kaarenpituus välillä [1,2] puolisuunnikassäännöllä jakamalla väli neljään osaväliin. Anna vastaus kolmen desimaalin…