Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · SYKSY 2008

Pitkä matematiikka, syksy 2008

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2008 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAY1a) Ratkaise epäyhtälö 12- x3> 34. b) Sievennä lauseke 1x- 1x^2+(1+x)/(x^2). c) Suora kulkee pisteen (6, 8) kautta ja on yhdensuuntainen suoran 3x-5y=11 kanssa. Muodosta suoran yhtälö.
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAA7a) Derivoi funktio (1-2x^2)/(1+x^2). b) Määritä kaikki funktiot, joiden derivaatta on e^3x-x. c) Mille kokonaisluvulle n pätee 5^n+5^n+5^n+5^n+5^n=5^25?
  3. 3. Tehtävä 312 p · MAA7a) Laske ∫0^π(1+ x) dx. b) Ratkaise yhtälö 4x^3-5x^2=2x-3x^3.
  4. 6. Tehtävä 612 p · MAA7Suorakulmion kärkipisteet ovat origossa, positiivisella x-akselilla, y-akselilla ja paraabelilla y=x^2. Missä suhteessa paraabeli jakaa suorakulmion pinta-alan?
  5. 7. Tehtävä 712 p · MAA2Ratkaise yhtälön √2-x=x+2 reaalijuuret.
  6. 8. Tehtävä 812 p · MAA8Laatikossa on kaksi valkoista ja kolme mustaa palloa. Laatikosta otetaan umpimähkään kaksi palloa. Olkoon satunnaismuuttuja X nostossa saatujen mustien pallojen lukumäärä. Laske todennäköisyydet P(X=k), k=0, 1, 2.…

B1-osa

  1. 4. Tehtävä 412 p · MAA3Metsäpalstan harvennushakkuusta myytiin tukkipuita. Palstan puut olivat keskimäärin 14 m korkeita ja tyvestä halkaisijaltaan 35 cm. Latvaosa katkaistiin siten, että tukin latvanpuoleisen pään halkaisijaksi tuli 10 cm.…
  2. 5. Tehtävä 512 p · MAA3Kahdella kolmiolla on sama pinta-ala. Toisen kolmion sivujen pituudet ovat 5, 5 ja 4. Toisessa kolmiossa on kaksi sivua, joiden pituus on 5. Miten pitkä on kolmas sivu, kun kolmiot eivät ole yhteneviä?
  3. 9. Tehtävä 912 p · MAA6Ympyrälevystä, jonka säde on r, leikataan pois sektori, ja jäljelle jäänyt osa taivutetaan suoran ympyräkartion vaipaksi. Määritä pois leikatun sektorin keskuskulma asteen tarkkuudella, kun kartion tilavuus on…
  4. 10. Tehtävä 1012 p · MAA6Osoita, että jokaisella reaaliluvulla x pätee (1-x)^8≥1-8x.
  5. 11. Tehtävä 1112 p · MAA4Vektorit OA= a (≠ 0) ja OB= b toteuttavat ehdon a· a=2 a· b. Osoita, että kolmio OAB on tasakylkinen.
  6. 12. Tehtävä 1212 p · MAA6Määritä vakio a siten, että funktiolla f(x)=(3x^3-x^2-12x+a)/(x+2), x≠-2, on raja-arvo kohdassa x=-2. Mikä tämä raja-arvo on?
  7. 13. Tehtävä 1312 p · MAA12Funktion f keskeisdifferenssillä pisteessä x tarkoitetaan lauseketta (f(x+h)-f(x-h))/(2h). Laske keskeisdifferenssi, kun f(x)=x^3. Osoita, että jokaiselle derivoituvalle funktiolle f pätee h→0(f(x+h)-f(x-h))/(2h)=f'(x).

B2-osa

  1. 14. Tehtävä 1412 p · MAY1Määrittele, mitä tarkoitetaan reaaliluvun x itseisarvolla. Todista, että seuraavat epäyhtälöt ovat voimassa kaikille reaaliluvuille x ja y: a) x≤|x|, b) x+y≤|x|+|y|, c) |x+y|≤|x|+|y|, d) ||x|-|y| |≤|x|+|y|.
  2. 15. Tehtävä 1512 p · MAA4Suoran s1 yhtälö on x-2y=0 ja suoran s2 yhtälö 2x-y=0. Suoralla s1 olevan pisteen A=(6, 3) kohtisuora projektio suoralla s2 on A1. Pisteen A1 kohtisuora projektio suoralla s1 on A2, tämän projektio suoralla s2 on A3…