Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · KEVÄT 2008

Pitkä matematiikka, kevät 2008

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2008 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAY1a) Ratkaise yhtälö 2x^2=x+1. b) Ratkaise yhtälö x6- x-23= 512. c) Olkoon x=(1-t^2)/(1+t^2) ja y=(2t)/(1+t^2), missä t on reaaliluku. Sievennä lauseke x^2+y^2.
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAY1a) Määritä suorien 2x+y=8, 3x+2y=5 leikkauspiste. b) Ratkaise yhtälö 5^5x-5=125. c) Ratkaise yhtälö |3x-2|=5.
  3. 3. Tehtävä 312 p · MAA7a) Määritä derivaatta ja integraalifunktio funktioille x^n, kun n=-4, -1, 2. b) Laske funktion f(x)=(2+ x)/(2+ x) derivaatta pisteessä x= π2.
  4. 6. Tehtävä 612 p · MAA4Määritä parametri t siten, että vektorit a=5 i-2 j ja b=3 i+t j ovat yhdensuuntaiset. Millä parametrin arvolla vektorit ovat kohtisuorat?
  5. 7. Tehtävä 712 p · MAA7a) Laske paraabelien y=x^2-3 ja y=-x^2+2x+1 leikkauspisteiden koordinaatit. b) Laske sen rajoitetun alueen pinta-ala, joka jää paraabelien väliin.

B1-osa

  1. 4. Tehtävä 412 p · MAA9Vuonna 2007 alennettiin parturimaksujen arvonlisäveroa 22 prosentista 8 prosenttiin. Jos alennus olisi siirtynyt täysimääräisenä parturimaksuihin, kuinka monta prosenttia ne olisivat alentuneet? Arvonlisävero…
  2. 5. Tehtävä 512 p · MAA8CD-levyllä on viisi kappaletta, ja henkilö kuuntelee levyn päivittäin yhden viikon aikana siten, että hän asettaa soittimen toistamaan kappaleet satunnaisessa järjestyksessä. Millä todennäköisyydellä kappaleet tulevat…
  3. 8. Tehtävä 812 p · MAA3Kolmion ABC pinta-ala on 6 cm^2. Sivun AB pituus on 5 cm ja sivun AC pituus 4 cm. Määritä kolmion suurin kulma asteen kymmenesosan tarkkuudella.
  4. 9. Tehtävä 912 p · MAA6Määritä funktion f(x)=x+√9-x^2, -3≤ x≤3, suurin ja pienin arvo.
  5. 11. Tehtävä 1112 p · MAA11a) Määritä lukujen 154 ja 126 suurin yhteinen tekijä. b) Ratkaise Diofantoksen yhtälö 154x+126y=56.
  6. 12. Tehtävä 1212 p · MAA11Osoita, että funktiolla f(x)=x^2-2^x on nollakohta välillä [-1,1], ja laske sille nelidesimaalinen likiarvo. Ratkaisusta tulee ilmetä, millä tavoin tulokseen on päädytty.
  7. 13. Tehtävä 1312 p · MAA12Olkoot f: R→ R ja g: R→ R derivoituvia funktioita, joille pätee f(x)≤ g(x) kaikilla x. Tutki, ovatko seuraavat väitteet oikeita vai vääriä joko osoittamalla väite oikeaksi tai esittämällä sille vastaesimerkki (so.…

B2-osa

  1. 10. Tehtävä 1012 p · MAA6Millä vakion a arvoilla funktio f(x)=e^x-a|x-1| on kaikkialla kasvava?
  2. 14. Tehtävä 1412 p · MAA7Olkoon f(x)= x- x. a) Laske funktion f nollakohdat välillä [0,2π]. b) Millä muuttujan x arvoilla funktio f saa suurimman ja pienimmän arvonsa välillä [0,2π]? c) Laske ∫0^2πf(x) dx. d) Laske ∫0^2π|f(x)| dx.
  3. 15. Tehtävä 1512 p · MAA3Viinipullon pohjan säde on r. Suorakulmaiseen laatikkoon pakataan n^2 viinipulloa rinnakkain n riviin, jolloin jokaisessa rivissä on n pulloa. Pakkaaminen tehdään jommallakummalla seuraavien kuvioiden esittämistä…