Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · KEVÄT 2001

Pitkä matematiikka, kevät 2001

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2001 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAA2Ratkaise yhtälö 1x- xx+3=0.
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAA6Määritä käyrän y=x^3 pisteeseen (2, 8) piirretyn tangentin yhtälö. Missä pisteessä tangentti leikkaa y-akselin? Määritä tangentin, y-akselin ja suoran y=8 määräämän kolmion pinta-ala.
  3. 3. Tehtävä 312 p · MAA4Vektorit a ja b ovat vastakkaissuuntaiset. Olkoon a= 32 i-2 j ja olkoon vektorin b pituus 5. Määritä b. Mikä on loppupiste, kun b asetetaan alkamaan pisteestä (4, 3)?
  4. 4. Tehtävä 412 p · MAA5Säiliö sisältää 2,3 kg ilmaa, ja pumppu poistaa jokaisella vedolla 5 % säiliössä olevasta ilmasta. Kuinka monen vedon jälkeen säiliössä on vähemmän kuin 0,2 kg ilmaa?
  5. 6. Tehtävä 612 p · MAA6Määritä funktion f(x)= 54+3 2x suurin ja pienin arvo reaalilukujen joukossa. Millä argumentin arvoilla nämä saadaan?

B1-osa

  1. 5. Tehtävä 512 p · MAA3Suoran ympyräkartion muotoisen jäätelötuutin korkeus on h=16 cm ja yläosan (kartion pohjan) halkaisija d=6 cm. Tuutin ympärille kartion vaipaksi kierretään ympyränsektorin muotoinen suojapaperi. Laske sektorin säde r…
  2. 7. Tehtävä 712 p · MAA8Tutkimuksessa todettiin, että 200 gramman keksipakkausten massan keskiarvo oli 204 g ja keskihajonta 6 g. Oletetaan, että massa on normaalisti jakautunut. Kuinka monella prosentilla pakkauksista massa oli alle 200 g?…
  3. 9. Tehtävä 912 p · MAA7Funktio f on määritelty välillä 0≤ x≤2 seuraavasti: f(x)=∫0^1|x-t| dt. Määritä funktion suurin ja pienin arvo välillä [0, 2].
  4. 10. Tehtävä 1012 p · MAA12Funktiota f: R→ R sanotaan parittomaksi, jos f(-x)=-f(x) jokaisella reaaliluvulla x. Anna esimerkki parittomasta funktiosta, joka on kasvava R:ssä, ja parittomasta funktiosta, joka ei ole kasvava R:ssä. Osoita, että…
  5. 11. Tehtävä 1112 p · MAA10Pallon sisään asetetaan kuutio, jonka kärjet ovat pallon pinnalla. Kuution sisään asetetaan pallo, joka sivuaa jokaista kuution sivutahkoa. Tämän sisään asetetaan jälleen kuutio jne. Osoita, että pallojen a) säteet, b)…
  6. 12. Tehtävä 1212 p · MAA11Lukujärjestelmän kantaluku on 7. Lausu tämän järjestelmän luvut 11, 111 ja 1111 kymmenjärjestelmässä. Miten kymmenjärjestelmän luvut 11, 111 ja 1111 esitetään tässä järjestelmässä?

B2-osa

  1. 8. Tehtävä 812 p · MAA4Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y=x^2; suoran kulman kärki on paraabelin huipussa. Osoita, että jokaisen tällaisen kolmion hypotenuusa leikkaa paraabelin akselin samassa pisteessä. Määritä…
  2. 13. Tehtävä 1312 p · MAA12Lukujonon termit ovat x1=1, x2=√2, x3=√2√2, x4=√2√2√2 jne. Muodosta termeille rekursiokaava. Laske n→∞xn.