YO-KOE · SYKSY 2001
Pitkä matematiikka, syksy 2001
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2001 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.
A-osa
- 1. Tehtävä 112 p · MAY1Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä cases3x-2y=1,\\4x+5y=2. cases
- 2. Tehtävä 212 p · MAA2Olkoon a≠ b. Ratkaise yhtälö (a-b)x^2+ax+b=0.
- 4. Tehtävä 412 p · MAA6Osoita, että käyrillä x^2-6x-3+4y=0 ja 2x^2+1-y=0 on yksi yhteinen piste, jossa ne sivuavat toisiaan, so. niillä on yhteinen tangentti. Määritä tämän tangentin yhtälö.
- 5. Tehtävä 512 p · MAA8Eräällä paikkakunnalla sataa 60 prosentin todennäköisyydellä, jos edellisenä päivänä on satanut; poutasään todennäköisyys on tällöin 40 prosenttia. Jos taas edellisenä päivänä on ollut pouta, sateen todennäköisyys on…
- 8. Tehtävä 812 p · MAA12Osoita y-koordinaattien erotusta tarkastelemalla, että käyrä y= (1+e^x ) lähenee rajattomasti suoraa y=x, kun x→∞.
B1-osa
- 3. Tehtävä 312 p · MAY1Juna lähtee Tampereelta klo 8.06 ja saapuu Helsinkiin klo 9.58. Vastakkaiseen suuntaan kulkeva juna lähtee Helsingistä klo 8.58 ja saapuu Tampereelle klo 11.02. Matkan pituus on 187 kilometriä. Oletetaan, että junat…
- 6. Tehtävä 612 p · MAA10Maapallon napa-alueiksi kutsutaan pohjoisen napapiirin pohjoispuolella olevaa aluetta ja eteläisen napapiirin eteläpuolista aluetta. Trooppinen alue on päiväntasaajan kummallakin puolella kääntöpiirien välissä oleva…
- 7. Tehtävä 712 p · MAA10Osoita, että pisteiden (2, 11 12, 2 ) ja (4, 12, -1 ) kautta kulkeva suora on kohtisuorassa pisteiden (5, 2, 0), (1, 1, 1) ja (4, 1, 3) kautta kulkevaa tasoa vastaan.
- 9. Tehtävä 912 p · MAA12Tutki, millä arvoilla x∈ R sarja Σk=0^∞ ((2x-1)/(3x+1) )^k suppenee. Määritä summafunktio.
- 10. Tehtävä 1012 p · MAA4Osa tien kaarteesta on ympyrän kaari, joka kartalla kulkee xy-koordinaatiston pisteiden (28, 98), (70, 112) ja (126, 84) kautta. Kuinka suuri on tämän ympyrän säde, kun yksikkö kartalla vastaa 25:tä metriä luonnossa?
- 11. Tehtävä 1112 p · MAA7Millä vakion a arvolla suorien x=a, x=a+2 ja y=0 sekä käyrän y= (x^2+x+1 )^-1 rajoittaman alueen pinta-ala on suurin?
- 12. Tehtävä 1212 p · MAA7Laske sen pyörähdyskappaleen tilavuus, joka syntyy käyrän y=x^3+1, x-akselin sekä suorien x=3 ja y=9 rajoittaman alueen pyörähtäessä suoran x=3 ympäri.
- 14. Tehtävä 1412 p · MAA11Selosta, millainen on yhtälön numeerisessa ratkaisemisessa sovellettava Newtonin menetelmä. Ratkaise sen avulla yhtälön e^x+ x=0 suurin juuri viiden desimaalin tarkkuudella.