Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · SYKSY 2000

Pitkä matematiikka, syksy 2000

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2000 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAY1Sievennä seuraavat lausekkeet: a) (x^n-1 )^n-1· (x^n )^2-n, b) √[3]a (√[3]a^2-√[3]a^5 ).
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAA2Ratkaise yhtälö √x-2=1+ 2√x-2.
  3. 3. Tehtävä 312 p · MAY1Matkaa kuljetaan tasaisella nopeudella. Kun matkasta on jäljellä 40 %, nopeutta lisätään 20 %. Kuinka monta prosenttia koko matkaan kuluva aika tällöin lyhenee?
  4. 5. Tehtävä 512 p · MAY1Osoita, että jos x+y+z=0 ja x^2+y^2+z^2=1, niin xy+yz+zx=- 12.
  5. 6. Tehtävä 612 p · MAA6Kolmannen asteen polynomilla p(x) on kaksinkertainen nollakohta x=2 ja p(3)=15, p'(1)=0. Määritä p(x).

B1-osa

  1. 4. Tehtävä 412 p · MAA3Tasaisella maanpinnalla sijaitsevan tornin huippu näkyy eräästä paikasta katsottuna 3,5 asteen kulmassa vaakasuoraan tasoon nähden. Tasan puoli kilometriä kauempaa katsottuna kulma on 2,5 astetta. Mikä on tornin…
  2. 7. Tehtävä 712 p · MAA8Todennäköisyys, että erään tulppaanilajikkeen sipuli itää, on 0,7. Kuinka monta sipulia on vähintään istutettava, jotta niistä ainakin kaksi itäisi yli 99 % todennäköisyydellä?
  3. 11. Tehtävä 1112 p · MAA12Olkoon suoran s1 yhtälö 3x-4y-4=0 ja suoran s2 yhtälö x-2y+2=0. Suoralla s1 olevasta pisteestä P0=(0, -1) kuljetaan positiivisen y-akselin suuntaan, kunnes osutaan suoralle s2; tästä jatketaan positiivisen x-akselin…
  4. 12. Tehtävä 1212 p · MAA5Tutki, mitkä tason pisteet (x, y) toteuttavat yhtälön yx= xy.
  5. 13. Tehtävä 1312 p · MAA12Funktio f: R→ R määritellään seuraavasti: f(x)=∫x^3x√t^2+1 dt. Määritä derivaatta f'(x) ja tutki funktion f ääriarvoja.
  6. 15. Tehtävä 1512 p · MAA11Määritä Diofantoksen yhtälön 10x+4y=36 kaikki ratkaisut.

B2-osa

  1. 8. Tehtävä 812 p · MAA4Vektorit a, b ja c ovat kolmion kärkipisteiden paikkavektorit. Nämä ja erään pisteen P paikkavektori p toteuttavat yhtälöt cases( p- a)·( b- c)=0,\\( p- b)·( c- a)=0. cases Miten piste P voidaan tällöin luonnehtia?…
  2. 9. Tehtävä 912 p · MAA6Ympyrän muotoisen suon halkaisija AB on 1 km. Suunnistaja haluaa päästä mahdollisimman lyhyessä ajassa kohdasta A kohtaan B. Miten hänen on valittava reittinsä, jos hän juoksee kovalla maalla 10 km/h ja suolla 5 km/h?