YO-KOE · KEVÄT 2005
Pitkä matematiikka, kevät 2005
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2005 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.
A-osa
- 1. Tehtävä 112 p · MAY1a) Sievennä lauseke x1-x+ x1+x. b) Ratkaise x yhtälöstä x^2-ax-a^2=0.
- 2. Tehtävä 212 p · MAA5a) Ratkaise yhtälöryhmä x+y=a, x-y=2a. b) Tiedetään, että x=- 1√5 ja 180^°<x<270^°. Määritä x ja x (tarkat arvot).
- 3. Tehtävä 312 p · MAY1Asuinrakennuksesta saadut vuokrat ovat 12 % pienemmät kuin ylläpitokustannukset. Kuinka monta prosenttia vuokria olisi korotettava, jotta ne tulisivat 10 % suuremmiksi kuin ylläpitokustannukset, jotka samanaikaisesti…
- 4. Tehtävä 412 p · MAA4Olkoon OA=7 i+9 j tason vektori. Määritä kaikki sellaiset vektorit OB, että kulma OAB on suora ja vektorin AB pituus on puolet vektorin OA pituudesta.
- 5. Tehtävä 512 p · MAA2Määritä paraabelin y=2x^2+bx+3 huippu ja totea, että se kertoimen b arvosta riippumatta sijaitsee paraabelilla y=-2x^2+3.
- 12. Tehtävä 1212 p · MAA12Olkoon funktio f jatkuva origossa. Määritä erotusosamäärän avulla funktion g(x)=xf(x) derivaatta origossa. Voidaanko tulosta soveltaa funktioon f(x)=|x|+1?
B1-osa
- 6. Tehtävä 612 p · MAA3Kuvion suorakulmaisessa kolmiossa on toisen kateetin projektio hypotenuusalle yhtä pitkä kuin toinen kateetti: AD=BC=a. Määritä kolmion kulmat asteen tarkkuudella.
- 7. Tehtävä 712 p · MAA3Luvulle π saadaan karkea likiarvo sijoittamalla ympyrän sisään a) säännöllinen kuusikulmio tai b) säännöllinen kahdeksankulmio ja rinnastamalla tämän α) piirin pituus tai β) pinta-ala ympyrän kehän pituuteen tai…
- 9. Tehtävä 912 p · MAA12Tikkataulun säde on 20 cm, ja taulu jakautuu kymmeneen samankeskiseen yhtä leveään renkaaseen, jotka on numeroitu ulkoa sisäänpäin 1:stä 10:een. Gabrielin heittämät tikat osuvat tauluun siten, että niiden etäisyys r…
- 10. Tehtävä 1012 p · MAA6Neljännen asteen polynomilla on paikallinen maksimi 16, kun x=-1. Origossa polynomi saa arvon 11. Polynomin kuvaajan pisteeseen (1, 11) piirretyn tangentin kulmakerroin on 0. Muodosta yhtälöryhmä, josta polynomin…
- 13. Tehtävä 1312 p · MAA11Geometrisen sarjan ensimmäinen termi on x^2+1 ja toinen x^2+3x. Tutki, millä muuttujan x arvoilla sarja suppenee.
- 15. Tehtävä 1512 p · MAA11Määritä funktion f(x)=x x pienin positiivinen ääriarvokohta ja vastaava ääriarvo ratkaisemalla derivaatan nollakohta Newtonin menetelmällä. Anna vastaukset viiden desimaalin tarkkuudella.
B2-osa
- 8. Tehtävä 812 p · MAA7Anna esimerkki sellaisesta jatkuvasta funktiosta f:[0,1]→ R, että f saa arvon 6 jossakin pisteessä ja ∫0^1f(x) dx=0. Saako nämä ehdot täyttävä funktio aina arvon 0 jossakin pisteessä?
- 11. Tehtävä 1112 p · MAA7Rasian pohja on suorakulmio, jonka sivujen pituudet ovat 7 cm ja 15 cm. Rasian laidat kallistuvat ulospäin kaikki samassa kaltevuudessa siten, että laitojen yläreunat muodostavat suorakulmion, jonka sivujen pituudet…