Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · KEVÄT 2006

Pitkä matematiikka, kevät 2006

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2006 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAY1a) Ratkaise x yhtälöstä 4x+2=3-2(x+4). b) Missä pisteessä suora y=3x-4 leikkaa x-akselia? c) Sievennä lauseke 1a-1 (a- 1a ).
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAA7a) Derivoi funktio f(x)=2√ x+ 3x^2-4 (x>0). b) Laske ∫ (x^2+ 2x )dx. c) Sievennä lauseke (xy^2)-2 y (x>0, y>0).
  3. 3. Tehtävä 312 p · MAA3Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on 15 cm ja piiri 36 cm. Määritä kateettien pituudet.
  4. 5. Tehtävä 512 p · MAA5Millä vakion a arvoilla yhtälöllä x=5-a^2 x on ratkaisuja?
  5. 15. Tehtävä 1512 p · MAA11Muodosta totuusarvotaulut lauseille (propositioille) p q ja q p, ja osoita, että lause (p q) ( q p) on tautologia.

B1-osa

  1. 4. Tehtävä 412 p · MAY1Kesämökin rakentaminen tuli 25 % arvioitua kalliimmaksi. Rakennustarvikkeet olivat 19 % ja muut kustannukset 28 % arvioitua kalliimpia. Mikä oli rakennustarvikkeiden arvioitu osuus ja mikä lopullinen osuus…
  2. 6. Tehtävä 612 p · MAA10Tutki, ovatko pisteet P=(4, 1, -2) ja Q=(0, 2, 4) pisteiden A=(1, 1, 1) ja B=(-1, 1, 3) määräämällä suoralla.
  3. 7. Tehtävä 712 p · MAA4Etsi yhtälö ympyrälle, jonka keskipiste on suoralla y= 12x ja joka sivuaa x-akselia ja suoraa 4x+3y-24=0. Määritä kaikki tehtävän ratkaisut.
  4. 8. Tehtävä 812 p · MAA12Yritys valmistaa pallon muotoisia kaasusäiliöitä, joiden tilavuuden on tarkoitus olla 5000 litraa. Enintään 65 litran poikkeama jompaankumpaan suuntaan hyväksytään. Laske tavoitteena oleva säiliön halkaisija ja…
  5. 9. Tehtävä 912 p · MAA7Käyrän y=2 (x+1), 0≤ x≤ e-1, pyörähtäessä y-akselin ympäri syntyy suppilomainen astia. Laske sen tilavuus. Ilmoita tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo.
  6. 12. Tehtävä 1212 p · MAA6Tiedetään, että funktio f kasvaa varsin tarkoin lineaarisesti (suoraviivaisesti) välillä [1,9995; 2,0005]. Lisäksi tiedetään funktion arvot f(2)=3,7458053 ja f(2,0005)=3,7458664. Määritä tämän perusteella likiarvo…
  7. 13. Tehtävä 1312 p · MAA11Olkoon f(x)=e^-x+1, x∈[1,2]. Osoita, että 1<f(x)<2 ja |f'(x)|<0,4. Tiedetään, että tällöin yhtälö x=f(x) voidaan ratkaista numeerisesti muodostamalla yhtälön ratkaisua kohden suppeneva jono x0,x1,x2,x3, seuraavalla…

B2-osa

  1. 10. Tehtävä 1012 p · MAA6Tulta syöksevät lohikäärmeet Draco ja Nid vartioivat solaa, ja solassa kulkeva joutuu menemään niiden välistä. Lohikäärmeiden välinen etäisyys on 200 kyynärää. Tulisuihkun vaikutus on suoraan verrannollinen…
  2. 11. Tehtävä 1112 p · MAA11Tutki, millä muuttujan x arvoilla sarja (x^2)/(1+x^2)+(x^2)/((1+x^2)^2)+(x^2)/((1+x^2)^3)+(x^2)/((1+x^2)^4)+ suppenee, ja laske sen summa.