Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · SYKSY 2003

Pitkä matematiikka, syksy 2003

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2003 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 2. Tehtävä 212 p · MAA3Neljäkkään sivu on tasan 5 cm, ja lävistäjien pituuksien suhde on 2:1. Laske neljäkkään ala.
  2. 3. Tehtävä 312 p · MAA6a) Derivoi funktio f(x)=e^2x-2+x^3-1. b) Määritä käyrän y=e^2x-2+x^3-1 pisteeseen (1, 1) piirretyn tangentin yhtälö. c) Määritä sen janan pituus, jonka koordinaattiakselit erottavat edellisen kohdan tangentista.
  3. 4. Tehtävä 412 p · MAA4Mistä xy-tason pisteestä pisteisiin A=(-1, 1), B=(1, -2), C=(2, 1), D=(2, 3) ja E=(-2, -2) piirrettyjen vektoreiden summa on nollavektori?
  4. 5. Tehtävä 512 p · MAY1Päärynämehusta ja omenamehusta tehdyn sekamehun sokeripitoisuus on 11 %. Määritä mehujen sekoitussuhde, kun päärynämehun sokeripitoisuus on 14 % ja omenamehun 7 %.
  5. 6. Tehtävä 612 p · MAA5Määritä (x-y), kun x= 14, - π2≤ x≤ π2, ja y=- 13, π≤ y≤2π. Tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo.

B1-osa

  1. 7. Tehtävä 712 p · MAA3Tasasivuinen kolmio T0 kiertyy tasossa keskipisteensä ympäri kulman α verran, jolloin se muuttuu kolmioksi Tα. Laske sen alueen ala, jonka kolmiot T0 ja Tα yhteensä peittävät (ts. unioni T0 Tα peittää), kun kolmion…
  2. 9. Tehtävä 912 p · MAA3Osoita, että kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde on R= a2 α, missä a on kolmion mielivaltainen sivu ja α sen vastainen kulma.
  3. 10. Tehtävä 1012 p · MAA6Tarkastellaan funktiota f(x)= | |x-2| |. Millä väleillä funktio kasvaa ja millä se vähenee? Esitä funktio kullakin välillä siten, että lausekkeissa ei esiinny itseisarvoja. Millä x:n arvoilla funktio saa pienimmän…
  4. 12. Tehtävä 1212 p · MAA9Isä tallettaa poikansa tilille joka kuukauden alussa 200 € vuodenvaihteessa tapahtuneesta syntymästä alkaen. Tilille maksetaan 1,5 % vuotuista korkoa, joka liitetään pääomaan aina vuoden lopussa. a) Kuinka paljon rahaa…
  5. 13. Tehtävä 1312 p · MAA7Käyrän y= x välillä 1≤ x≤ e oleva osa pyörähtää x-akselin ympäri. Määritä muodostuneen kappaleen tilavuus.

B2-osa

  1. 11. Tehtävä 1112 p · MAA6Osoita, että lauseke Σk=1^n(x-ak)^2, missä ak:t ovat annettuja reaalilukuja, saa pienimmän arvonsa, kun x= 1nΣ k=1^nak. Lausu tämä pienin arvo lukujen ak avulla mahdollisimman yksinkertaisessa muodossa.
  2. 14. Tehtävä 1412 p · MAA12Jatkuvan funktion f:[0, ∞[ → R keskiarvo välillä [0, x] (x>0) määritellään seuraavasti: G(x)= 1x∫0^xf(t) dt. Määritä keskiarvofunktion derivaatta G'(x) ja lausu se funktionarvojen f(x) ja G(x) avulla. Osoita, että…