Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · KEVÄT 2003

Pitkä matematiikka, kevät 2003

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2003 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAY1Sievennä lausekkeet a) √3 34 /√1 23, b) ( xy+ yx-2 ) / ( xy- yx ).
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAA3Tasasivuisen kolmion ympäri piirretään ympyrä, joka kulkee kolmion kärkipisteiden kautta. Kolmion sisään asetetaan toinen ympyrä siten, että se sivuaa kolmion sivuja. Kuinka monta prosenttia edellisen ympyrän ala on…
  3. 4. Tehtävä 412 p · MAA8Tilastojen mukaan eräässä pääsykuulustelussa 25 % pyrkijöistä epäonnistuu matematiikan ja 17 % fysiikan kokeessa. Pyrkijöistä 10 % epäonnistuu kummassakin kokeessa. Laske todennäköisyys, että fysiikan kokeessa…
  4. 6. Tehtävä 612 p · MAA3Kolmion kulmille α, β ja γ pätee α β= γ. Osoita, että kolmio on suorakulmainen.
  5. 7. Tehtävä 712 p · MAA10Suora on vektorin 3 i+ j+3 k suuntainen ja kulkee pisteen (2, 3, 7) kautta. Määritä sen ja tason x+2y+z=1 leikkauspiste.
  6. 9. Tehtävä 912 p · MAA5Määritä funktion f(x)=(x+2)/(x-3), x>3, käänteisfunktio f^-1. Millä välillä tämä on määritelty? Osoita laskemalla, että f^-1(f(x))=x, kun x>3.

B1-osa

  1. 3. Tehtävä 312 p · MAY1Laudan leveys on 95 mm ja pituus 1,6 m. Siitä sahataan samanpituisia paloja, jotka asetetaan rinnakkain siten, että muodostuu neliön muotoinen levy. Miten pitkä voi neliön sivu enintään olla?
  2. 8. Tehtävä 812 p · MAA6Yksikkösäteisen pallon sisällä on tilavuudeltaan mahdollisimman suuri suora ympyräpohjainen lieriö. Määritä lieriön korkeus ja pohjaympyrän säde. Laske lieriön ja pallon tilavuuksien suhde.
  3. 10. Tehtävä 1012 p · MAA7Anna esimerkki jatkuvasta funktiosta f:[0, 1]→ R, jolla on ominaisuudet f(0)=f(1)=0 ja ∫0^1f(x) dx=100.
  4. 12. Tehtävä 1212 p · MAA12Geometrisen jonon kolmen ensimmäisen termin summa on 3 ja kuuden ensimmäisen termin summa 12. Laske yhdeksän ensimmäisen termin summa. Suppeneeko vastaava geometrinen sarja?

B2-osa

  1. 11. Tehtävä 1112 p · MAA4Olkoon x0^2+y0^2=1. Osoita, että x0x+y0y=1 on ympyrän x^2+y^2=1 tangentti. Mitkä ovat sivuamispisteen koordinaatit?
  2. 13. Tehtävä 1312 p · MAA10Piste on r-säteisen pallon ulkopuolella etäisyydellä d pallon pinnasta. Kuinka monta prosenttia p=p(r,d) pallon pinnasta näkyy pisteestä? Määritä d→∞p(r,d). Kuinka suuri osa maapallon pinnasta näkyy 500 kilometrin…