Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · KEVÄT 2004

Pitkä matematiikka, kevät 2004

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2004 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAA2Olkoon f(x)=x^3+3x^2+x+1 ja g(x)=x^3+x^2-2x+3. a) Laske f(-2). b) Laske g ( 12 ). c) Ratkaise yhtälö f(x)=g(x).
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAA7Määritä a siten, että ∫a^a+1(2x+3) dx= 12.
  3. 3. Tehtävä 312 p · MAY1Perheen vuokramenot olivat 25 % tuloista. Vuokramenot nousivat 15 %. Montako prosenttia vähemmän rahaa riitti muuhun käyttöön korotuksen jälkeen?
  4. 4. Tehtävä 412 p · MAA4Pisteestä P=(1, -1) lähtevät vektorit a= i+4 j ja b=-2 i+5 j ovat suunnikkaan sivuina. Suunnikkaan lävistäjien leikkauspiste olkoon Q. Määritä vektori PQ sekä pisteen Q koordinaatit.
  5. 5. Tehtävä 512 p · MAA6Määritä se paraabelin y=x^2-2x-3 piste, jossa paraabelin tangentin suuntakulma on +45^°.

B1-osa

  1. 6. Tehtävä 612 p · MAA3Talosta 4 metrin korkeudelta katsottaessa linkkimaston huippu näkyy 25 asteen korkeuskulmassa ja 12 metriä korkeammalta katsottaessa 22,5 asteen korkeuskulmassa vaakatasoon nähden. Maston perusta on 21 metriä…
  2. 7. Tehtävä 712 p · MAA3Suorakulmaisen kolmion hypotenuusalle piirretty korkeusjana jakaa hypotenuusan suhteessa 3:7. Määritä kateettien pituuksien suhde.
  3. 8. Tehtävä 812 p · MAA4a) Millä parametrin a arvoilla yhtälö x^2+y^2-2x-4ay+5a^2+2a=0 esittää ympyrää? b) Mikä on tällöin ympyrän alan suurin mahdollinen arvo?
  4. 9. Tehtävä 912 p · MAA8Leirikoulun hyväksi järjestetyissä arpajaisissa ilmoitettiin, että joka 20:s arpa voittaa. Kuinka monta arpaa on ostettava, jotta todennäköisyys ainakin yhteen voittoon olisi yli 50 %?
  5. 10. Tehtävä 1012 p · MAA7Muodosta funktio f: ]-∞,0[ → R, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y=2 ja jonka derivaatta on f'(x)=1+ 1x.
  6. 11. Tehtävä 1112 p · MAA6Olkoon x≥1. Osoita, että x^x-e^x-1≥0. Millä x:n arvoilla pätee yhtäsuuruus?
  7. 12. Tehtävä 1212 p · MAA7Funktio f: R→ R määritellään seuraavasti: f(x)=2^-n, kun nπ≤ x<(n+1)π, n∈ Z. Laske integraali I(k)=∫0^kπf(x) x dx, kun k=1,2,3, Määritä tämän jälkeen raja-arvo k→∞I(k).

B2-osa

  1. 13. Tehtävä 1312 p · MAA11Kokonaisluku m on kokonaisluvun n tekijä, jos on olemassa kokonaisluku k siten, että n=km. Osoita: a) Jos m on n:n tekijä ja n on m:n tekijä, niin m=± n. b) Jos m on n:n tekijä ja n on p:n tekijä, niin m on p:n tekijä.
  2. 14. Tehtävä 1412 p · MAA12Anna esimerkki sellaisesta suppenevasta lukujonosta x1, x2, x3, , että vastaava sarja Σn=1^∞ xn hajaantuu. Voiko lukujono hajaantua ja vastaava sarja supeta?