Tehtävä 14 · 2003 · syksy

Jatkuvan funktion $f:[0,\,\infty[\ \to\mathbb R$ keskiarvo välillä $[0,\,x]$ ($x>0$) määritellään seuraavasti: $$G(x)=\frac1x\int_0^xf(t)\,dt.$$ Määritä keskiarvofunktion derivaatta $G'(x)$ ja lausu se funktionarvojen $f(x)$ ja $G(x)$ avulla. Osoita, että $G(x)\le f(x)$, jos $f$ on kasvava. Osoita edelleen, että tällöin myös $G$ on kasvava.