YO-KOE · SYKSY 2002
Pitkä matematiikka, syksy 2002
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen syksy 2002 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.
A-osa
- 1. Tehtävä 112 p · MAA4Suorat y=2x, y=- 12x ja x+y=3 rajoittavat kolmion. a) Määritä kolmion kärkipisteiden koordinaatit. b) Laske kolmion sivujen pituudet.
- 2. Tehtävä 212 p · MAY1Vuoden 1960 jälkeen on nopeimman junayhteyden matka-aika Helsingin ja Lappeenrannan välillä lyhentynyt 37 prosenttia. Laske, kuinka monta prosenttia keskinopeus on tällöin noussut. Oletetaan, että radan pituus ei ole…
- 3. Tehtävä 312 p · MAA6Funktiolla f(x)=Ae^x+2Be^-x on ominaisuudet f(0)=1 ja f'(0)=2. Määritä kertoimet A ja B.
- 4. Tehtävä 412 p · MAY1a) Olkoon a≠0, b≠0. Sievennä: a+ b^2ab+ a^2b. b) Osoita, että x^2-y^2=1, kun x= 12 ( 1t+t ), y= 12 ( 1t-t ), t≠0.
- 5. Tehtävä 512 p · MAA4Suora kulkee pisteen (1, 3) kautta, ja vektori 2 i+3 j on sen normaalivektori. Määritä pisteen (2, 2) etäisyys suorasta.
B1-osa
- 6. Tehtävä 612 p · MAA3Kolmion kulman suuruus on α ja sen vastaisen sivun pituus 5; toisen kulman suuruus on 2α ja sen vastaisen sivun pituus 8. Laske kolmion kolmannen sivun tarkka pituus ja määritä α asteen kymmenesosan tarkkuudella.
- 7. Tehtävä 712 p · MAA10Säännöllisen tetraedrin ABCD särmän pituus on a. Särmien DA, DB ja DC keskipisteiden kautta on asetettu taso. Laske tasosta tetraedrin sisään jäävän osan pinta-ala.
- 8. Tehtävä 812 p · MAA4Suorakulmion ABCD kärki A on origossa, ja sille vastakkainen kärki C on pisteessä (6, 4). Kärki B on janan AC suuntaisella suoralla. Määritä suoran yhtälö, kun suorakulmion ala on mahdollisimman suuri.
- 9. Tehtävä 912 p · MAA8Leena ja Sari ratkaisevat rahaa heittämällä, kumpi pääsee ensiksi ratsastamaan. Leena heittää ensiksi, ja jos tulee kruuna, hän pääsee ensiksi ratsastamaan. Jos tulee klaava, Sari heittää rahaa, ja kruunalla hän pääsee…
- 10. Tehtävä 1012 p · MAA12Ratkaise toisen asteen yhtälö ax^2+2x+1=0, kun |a|<1. Mitä raja-arvoja juuret lähestyvät, kun a→0? Miten nämä suhtautuvat arvoa a=0 vastaavan yhtälön juureen?
- 11. Tehtävä 1112 p · MAA11Venäläisen matemaatikon Pafnuti Tšebyševin mukaan nimetyt polynomit Tn(x) määritellään rekursiivisesti: T0(x)=1; T1(x)=x; Tn+2(x)=2xTn+1(x)-Tn(x), kun n=0, 1, 2, Mitä arvoja polynomit saavat pisteissä x=-1, x=0 ja x=1?…
- 12. Tehtävä 1212 p · MAA7Nykytaiteen museorakennuksen pohja on ympyrä, jonka halkaisija on 19,7 metriä. Jos rakennus leikataan pohjaympyrän tietyn halkaisijan suuntaisella pystysuoralla tasolla, leikkauskuvio on aina suorakulmio, jonka korkeus…
- 15. Tehtävä 1512 p · MAA12Normaalijakauman kertymäfunktio on (x)= 1√2π∫-∞^xe^-t^2/2 dt= 12+ 1√2π∫0^xe^-t^2/2 dt. Laske (1) Simpsonin säännön avulla jakamalla integroimisväli a) neljään, b) kahdeksaan osaväliin. Esitä näihin laskuihin perustuva…