Laudis.Pitkä matematiikka

YO-KOE · KEVÄT 2002

Pitkä matematiikka, kevät 2002

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen kevät 2002 tehtävät. Avaa tehtävä, kirjoita ratkaisusi ja tarkista vastaus. Harjoittelu on ilmaista.

A-osa

  1. 1. Tehtävä 112 p · MAA4Suora kulkee pisteen (1, 2) kautta. Määritä suoran yhtälö, kun a) se on x-akselin suuntainen, b) se on y-akselin suuntainen, c) sen suuntakulma on -45 astetta, d) se on kohtisuorassa suoraa 2x+y=0 vastaan.
  2. 2. Tehtävä 212 p · MAA5a) Millä x:n arvolla on e^x=1? b) Ratkaise yhtälö e^x^3+4x^2+x=1.
  3. 3. Tehtävä 312 p · MAY1Vuonna 2001 erään liikeyrityksen ulkomaille suuntautuvan myynnin arvo kasvoi 10 % vuoteen 2000 verrattuna. Samaan aikaan myynnin arvo kotimaassa väheni 5 %. Tällöin koko myynnin arvo kasvoi 6 %. Laske, kuinka monta…
  4. 5. Tehtävä 512 p · MAA2Polynomi P(x)=x^3+ax^2+bx+c on jaollinen binomilla x^2-1. Lisäksi on P(2)=12. Määritä P(x).
  5. 6. Tehtävä 612 p · MAA4Määritä vektorien x ja y välinen kulma α, 0^°≤α≤180^°, kun a) vektoreilla x, y ja x+ y on sama pituus, b) vektoreilla x, y ja x- y on sama pituus.

B1-osa

  1. 4. Tehtävä 412 p · MAA3Suoran ympyrälieriön muotoisen litran mitan korkeus on 15 cm. Kuinka suuri on samanmuotoisen puolen litran mitan pohjan halkaisija?
  2. 7. Tehtävä 712 p · MAA2Suorakulmion pinta-ala on 30 m^2 ja piiri enintään 24 m. Mitä arvoja suorakulmion sivujen pituudet voivat saada?
  3. 8. Tehtävä 812 p · MAA12Määritä raja-arvo n→∞∫1^n ( 1x^2+ nx )dx.
  4. 9. Tehtävä 912 p · MAA8Reaaliluvut a ja b arvotaan väliltä [0, 3]. Millä todennäköisyydellä on 10(2a+3b)>1?
  5. 11. Tehtävä 1112 p · MAA10Määritä normaalivektori tasolle, joka sisältää pisteen (1, 1, 1) ja suoran x=1+t, y=2+2t, z=3+3t, t∈ R.
  6. 12. Tehtävä 1212 p · MAA12Kuvaus f: R→ R on injektio, jos f(x)≠ f(y) aina, kun x≠ y. Kuvaus f: R→ R on surjektio, jos jokaista reaalilukua y kohti on olemassa sellainen reaaliluku x, että y=f(x). Anna esimerkki kuvauksesta f: R→ R, joka on…
  7. 13. Tehtävä 1312 p · MAA12Millä reaaliluvuilla x funktio f on määritelty, kun f(x)=1+Σn=1^∞ (- 95 )^n( x)^n( x)^n ? Määritä funktion pienin ja suurin arvo sekä vastaavat x:n arvot.

B2-osa

  1. 10. Tehtävä 1012 p · MAA6R-säteisen pallon ympäri asetetaan mahdollisimman pieni neliöpohjainen suora pyramidi siten, että pallo sivuaa pyramidin pohjaa ja sivutahkoja. Laske pallon tilavuuden suhde pyramidin tilavuuteen.