Tehtävä 11 · 2014 · kevät

Eräs menetelmä luvun $\sqrt[3]{a}$ likiarvojen laskemiseksi perustuu kaavaan $$x_{n+1}=\frac13\left(2x_n+\frac{a}{(x_n)^2}\right),$$ kun $n=1{,}2,\ldots$ ja $x_1=1$. Tarkastellaan kyseistä jonoa $(x_1,x_2,x_3,\ldots)$, kun $a=9$. Millä indeksin $n$ arvolla näin lasketut likiarvot toteuttavat ensimmäisen kerran seuraavan ehdon: lukujen $x_n$ ja $x_{n+1}$ seitsemän ensimmäistä desimaalia ovat samat?