Tehtävä 12 · 2012 · kevät

Leonardo Pisano (1170–1250), kutsumanimeltään Fibonacci, määritteli noin vuonna 1210 lukujonon $(f_n)$ kaavoilla $$f_1=f_2=1,\quad f_{n+2}=f_{n+1}+f_n,\quad n=1{,}2,\ldots$$ a) Määritä luvut $f_3,f_4,\ldots,f_{10}$. b) Kreikkalaiset kutsuivat lukua $\varphi=\frac12\left(1+\sqrt5\right)\approx 1{,}618034$ kultaiseksi leikkaukseksi. Sen avulla saadaan Fibonaccin luvuille kaava $$f_n=\frac1{\sqrt5}\left(\varphi^n-(-\varphi)^{-n}\right),\quad n=1{,}2,\ldots$$ Näytä, että kaava on oikein, kun $n=1$ ja $n=2$. c) Näytä, että yhtälön $x^2-x-1=0$ juuret ovat $\varphi$ ja $-\frac1\varphi$.