Pellin ja Fermat'n yhtälö · 2026 · syksy

Kokonaisluvut $x$ ja $y$ muodostavat Pellin ja Fermat'n yhtälön ratkaisun vakiolla $3,$ jos $$x^2-3y^2=1. \quad \quad \quad \quad \quad \quad (\star)$$ Esimerkiksi luvut $x=1$ ja $y=0$ toteuttavat yhtälön, mutta tehtävässä on löydettävä ratkaisuja, joissa sekä $x$ että $y$ ovat positiivisia. - Anna esimerkki positiivisista kokonaisluvuista $x$ ja $y,$ jotka toteuttavat yhtälön $(\star).$ - Todista Brahmaguptan yhtälö $$(x^2-3y^2)(z^2-3w^2)=(xz+3yw)^2-3(xw+yz)^2\,.$$ - Etsi aiemmin löytämäsi ratkaisun ja Brahmaguptan yhtälön avulla yhtälölle $(\star)$ toinen ratkaisu. - Osoita, että yhtälöllä $(\star)$ on äärettömän monta kokonaislukuratkaisua.