Tehtävä 9 · 2016 · kevät

Valitse joko tehtävä 9.1 tai tehtävä 9.2. **9.1.** Luvun $\sqrt{20}$ likiarvoja voidaan laskea tarkastelemalla jonoa suorakulmioita, joiden pinta-ala on 20. Aloitetaan suorakulmiosta $S_1$, jonka sivujen pituudet ovat $x_1=1$ ja $y_1=\frac{20}{x_1}$.Seuraavan suorakulmion $S_2$ yhden sivun pituus $x_2$ saadaan laskemalla lukujen $x_1$ ja $y_1$ keskiarvo, jolloin toisen sivun pituus on $y_2=\frac{20}{x_2}$. Tiedetään, että jatkamalla tällä tavalla saadaan jono suorakulmioita $S_1, S_2, S_3, \ldots$, joiden muoto lähestyy neliötä. Tämän neliön sivun pituus on silloin $\sqrt{20}$. Määritä approksimaation $x_5$ suhteellinen virhe oikeaan 8-desimaaliseen likiarvoon $\sqrt{20}\approx4{,}47213596$ verrattuna. Anna vastaus prosenttiyksikön kymmenesosan tarkkuudella. **9.2.** Funktion $g(x)$ arvoille on voimassa $-20\le g(x)\le16$ kaikilla $x\in\mathbb R$. Osoita, että funktio $f(x)=x^2g(x)$ on derivoituva kohdassa $x=0$.