Tehtävä 15 · 2013 · kevät

a) Ympyrä, jonka säde on $r>\frac12$, asetetaan paraabelin $y=x^2$ sisäpuolelle alla olevan kuvan mukaisesti. Näytä, että ympyrän keskipisteen $y$-koordinaatti on $r^2+\frac14$. (4 p.)b) Ympyrä $C_1$ saadaan valitsemalla a-kohdassa $r=r_1=1$. Sitä sivuamaan asetetaan toinen ympyrä $C_2$, joka sivuaa myös paraabelia. Jatkamalla näin saadaan alla olevan kuvan mukainen jono ympyröitä $C_1$, $C_2$, $C_3$, … Määritä ympyrän $C_2$ säde $r_2$. (3 p.) c) Osoita, että peräkkäisten ympyröiden $C_n$ ja $C_{n+1}$ säteet $r_n$ ja $r_{n+1}$ toteuttavat rekursiokaavan $(r_{n+1})^2-r_{n+1}=(r_n)^2+r_n$ kaikilla $n=1,2,3,\ldots$ (3 p.) d) Osoita c-kohdan avulla, että $r_{n+1}=r_n+1$ kaikilla $n=1,2,3,\ldots$ (2 p.)